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dai さんの日記

 
2023
12月 15
(金)
22:29
トップの本棚―感情を失ったヌマクロー
本文
ファボ0のボケを丸パクリして、読者を「感情を失ったヌマクロー」にしていくスタイル。




高2理系数学に次のような問題を仕込んでいた。

次の無限級数は収束するか、それとも発散するか。
(ただし上に有界な単調増加数列は収束するものとする)

① 1/1²+1/2²+1/3²+1/4²+1/5²+……

② 1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+……



①を解く方法は今ではいろいろ考え出されている(中学生でも頑張ればついていけるものもある=相似形の面積と円周角の定理と逆三平方の定理を用いる)。(注1)

YouTubeを開いて「バーゼル問題」で検索けんさくぅ

一番お気に入りは、バーゼル問題を解決したレオンハルト・オイラーの方法。

三角関数sin(x)をヌマクローじゃなかったマクローリン展開…(恥ずかしくなって最後まで言うのを止めた)


なお、「数列を無限に足していったらどうなるか」など、高1数学でもこの話題は二項展開がらみで少し触れている。



『数学の世界地図』  古賀真輝 KADOKAWA 

この絶景は
麓からは想像しづらい
だからこのガイドブックを
書きました。

との帯。

数学の好きな中高生から、理解大学生に向けた入門書。

興味ない?
いや、地図って眺めてるだけで楽しいからね。


それでは授業の時間だ。


冒頭の問題、①は2未満の値に収束、②は発散する。

オイラーは①の値を具体的にπ²/6(=1.6449…)と求めている。

①は、部分分数分解を用いて上から2-1/nで押さえる。(上に有界な単調増加数列は収束する)

②は部分和Snよりも小さく、発散する和で下から評価する。


理系の、レベルの高い大学を目指すならまだ余裕のある今のうちに、一度くらいは通っておきたい問題のひとつである。

年内いっぱいで微分(の基本)は終了。グラフや最大最小などの応用問題をやりつつ
このあと理系数学は、グラフや最大最小などの応用問題をやりつついろいろな関数の積分と、複素数平面(特に、ド・モアブルの定理の理解)をやっていく予定。



それでは今日は、このへんで。



注1:河野玄斗バージョンがおススメ。多分一番とっつきやすい。でも円周角の定理を使うものでお気に入りは、3Blue1Brownさんの授業(イギリスのどっかの大学?のオンライン授業で当たり前に全部英語だけど)


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