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TOP  >  TOPブログ  >  dai  >  つれづれ  >  daiの入試問題研究Vol26.―因数分解は展開の逆

dai さんの日記

 
2023
5月 5
(金)
15:49
daiの入試問題研究Vol26.―因数分解は展開の逆
本文



5月4日清水坂付近の画像と、同日江の島の参道付近の動画を見かけた。雑踏事故になりかねない混雑ぶりである。聞けば京都駅から清水の舞台まで、小田急の江の島駅から展望台まで、いずれも5時間ほどかかるらしい、知らんけど。


SNSのトレンドに因数分解が挙がった。はぁ、意味わからん、連休やのに因数分解て、と思いながら少し掘ってみた。どうやら一部のトレンドはアカウントの興味関心に寄せたものが表示される仕様になっている模様。


どこかの塾の先生が問題提起した(ご本人はそんなつもりはなかったかもしれないが)のが賛否両論、少々バズっていたのだ。(なお、本記事での「因数分解」は全て整数係数の範囲でカッコ内を出来るだけ小さくするものとします、一応「数学警察」対策。)

中3 因数分解せよ 9x²+6x+1

 3x=Aとおくと、上の式はA²+2A+1となり、
 (A+1)²と因数分解できるので
 (3x+1)² 
 (ドヤァ)


数学得意な子ばかりを相手にしているのならいざ知らず、習熟度の低い子もいる中でなら、初手で(学校で未習、既習にかかわらず)それは悪手じゃないかなあ。

ワイの考えは、
平方の展開 (ax±b)²=a²x²±2abx+b² の逆じゃないかな、確かめてみようで終了。つまり「展開から探す」でよい。


じゃあ、数字がデカかったらどうするの?例えば定期テストに

1296x²+72x+1を因数分解せよが出ただって?

趣味の悪い問題だね(ワイは好きやけど)
一緒やん。展開の逆を考えて探す、それで終わり。

なになに、36x=Aと置く?そもそも36はどっから出てきたんだ?
「素因数分解」すればよい?そりゃもっともだ。
じゃあ展開で見当をつけても手間は一緒じゃないか?

なんだって?高校までを見越して指導するならカタマリを別の文字で置くことをきちんと指導した方が良い?わからんでもないけどこの段階(「因数分解の公式を用いる」)で初手で教えるべきこと?数学ニガテさんに?

ついでだから言うと、「高校以降につなげる」というなら、以下のような(中学指導要領の制限を逆手に取った)「受験テクニック」も大きなお世話やとおもう。

「中学校の指導要領では
 x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
 a²±b²=(a±b)²
 a²-b²=(a+b)(a-b)
しか公式として習わないのだから、この場合(  )²の形になるに決まってる。」


じゃあ、4x²+8x+3を因数分解してみろよ、これも公立中学の定期テストに出てたぞ、どうやって教えるんだ、だって?

その人曰く、
2x=Aとおくと、この式は
 A²+4A+3となり、
 (A+1)(A+3)と因数分解できるので、
 (2x+3)(2x+1)
と。

生徒がこう解いてきたぶんには文句なしに○やね。この子数学得意なんやろな、と思うだけ。

でも講師がノータイムでこのやり方だけ説明するのならやっぱり残念な先生、という評価をするかな。

これかて数字小さいんやし、展開から探していったらすぐやん。

自塾の上位クラスなら高校数学Ⅰで習う「たすき掛け」も仕込むかな?この段階なら(高校生やるようになって長らく中3数学見ていないけど)。


しかしまあ、何ですな。「たすき掛け」、たいそうな名前が付いているんやけど…
「展開から探す」補助としてメモしているだけやん。ぜいたくな名前だねえ。
ねえ、湯婆婆(ゆばーば)さん。


おまけ。

高1の皆さ~ん、「たすき掛け」を知っているという中学生の皆さ~ん、よかったら次の因数分解をやってみて。

① 4x²-15x+9
② 75x²+124x+32
➂ x⁴+4x²+16



ヒントとしては、
①では1次の係数15が3の倍数であること(これで1択)、
②では1次の係数124は4の倍数であり、かつ3の倍数でも5の倍数でもないこと(これで2択)、
➂の2次の係数は決してタイポではない。脳死でx²=Aとおく人に警鐘を鳴らしたい。


まあ、いずれにしても展開の逆を辿ればよいのだ。検算は展開して確かめればよい。

解答はコメント欄に連休明けに掲出予定。


それでは今日は、このへんで。



閲覧(954)
カテゴリー
投稿者 スレッド
dai
投稿日時: 2023/5/8 22:34  更新日時: 2023/5/8 22:34
長老
登録日: 2017/3/30
居住地:
投稿数: 1116
 RE: daiの入試問題研究Vol26.―因数分解は展開の逆
① 15が3の倍数なので9は3と3に分ける。
  15は2の倍数でないので1と4に分ける。
  (x-3)(4x-3)
② 75=3×5×5、32は2の5乗
  124は4の倍数だが、2を振り分けて双方を4で割ると2余る数は作れないので、4×4×2に振り分け。
  124は3の倍数でも5の倍数でもないのでこちらは3×25に振り分け。
  (3x+4)(25x+8)
③ (x²+2x+4)(x²-2x+4)

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