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まずは、１１月２５日付ブログ「daiの問題研究1〜小学5年生の算数」で紹介した問題の答え合わせをしておきたい。



3.14159×7.55052＋2.44948×2.23606＋0.90553×2.44948を計算しなさい。
（開成高校）

見え見えの「計算の工夫」（注1）。GHと大将軍の小学5年生に教えたら、一部の子から「他にない〜？」とおかわり求められた問題。

答　31.4159


内接円の半径、斜辺に10個の円が接している問題（栗東西中の定期テストから）

答　10/23　　ガチ難しい。初見でできた人は「膳所余裕」レベルだと思う。


内接円の半径、斜辺に3個の円が接している問題（法政高校の入試問題）

答　10/9 先の定期テストの問題の元ネタはこれかな？



というわけで、授業の時間だ。

2学期最後の栗東校中3数学、確認テストで出題した問題の一つは、2020の国立高専の問題を参考に作った。円に内接する三角形の一つの頂点から角の二等分線が引いてある、典型的だが中々奥深い問題である。（大将軍・GH校の3年生で膳所などを目指す人は自習に来た時にでも「全国入試問題正解2021受験用」を開いてやってみるとよい。）


似たような思考方法で解く問題、どこかで見たことあるなあ、とぼんやり考えてたところで、たまたま目にした問題がこれ。2011年の京都大学（文系）の入試問題である。

AB=12、BC=11、CA=10の三角形ABCを考える。∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとするとき、線分ADの長さを求めよ。

参考図（実際の入試問題には印刷されていない）
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なるほど、角の二等分線や円と相似、三平方の定理など中学3年間の図形問題を解く技術を総動員すれば、sin,cosを用いることなく解けそうな気がする。

実際、先に述べた国立高専の問題から誘導を全部取っ払ったらこんな問題になるんじゃないだろうか。


中3の塾生諸君は良かったら解いてみて。

解答は、図形のどういう性質を使ったかということを添えて
（例　「△ABCの外接円を書きADの延長と円との交点をEとすると、△ADCと△ABEが相似」）、答えをPMでdaiまでどうぞ。
（分数は/（スラッシュ、例えば3分の1なら1/3というように表す）、√は「ルート」とカタカナで入力して変換を押したら出るよ）

正解者の中から抽選で1名様に「クリスマスプレゼントを探しに行ったフ○○ングタイガーで見つけた、こじゃれた文具」を進呈します。(締め切りは12月25日授業終了時とします）

ヒント１

テキストp156の学習４「線分の長さ」、p140の学習４「円と相似」（特に16番の問題）は合わせてチェックをしておくといいよ！

ヒント２
そういや去年の11月ごろにどこかの教室で、定期テスト前のテスト演習が早く終わったからとヘロンの公式の証明に挑んでいた強者がいたっけ（彼は無事特色で膳所高校に合格、進学した）。

ヘロンの公式はこれ
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その証明はこれ（最初の2行だけ）
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三角形の面積と内接円の半径との関係（テキストp160学習９「内接円の半径」、p128学習２「三角形の外接円と内接円」と２回も念を押す超重要基本事項。ただし公式を暗記してあてはめろと言っているわけではなく、意味わかっておいて、というレベルの話）に、ヘロンの公式を代入する。
そうすると、とっても美しい公式（？）（注2）が爆誕する。不思議なことに名前を聞かないので（たぶん私が知らんだけ？）、「daiの公式」とか名乗ってもいいかな？
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今理科を教えてるGH校中2のクラスの子(DANZEN先生のブログで触れていた子たちだ）に、「ヘロンの公式とdaiの公式は難関高校入試で必須の知識やから頑張って覚えるんやで」とか言って煽ったら（ウソですよ、必要ありません）本当に覚えてきそうなのでちょっとこわい。（それくらい素直な子たちが多い、という意味です）

素直なことは、伸びしろが多くてよいことだ。将来が楽しみなのだが、一方で素直過ぎて少々不安だったりもする。


さいごに、数学の勉強についての世の中にありがちな誤解について、一言モノ申したい。

そもそも「公式を当てはめて答えを出すのが数学の勉強」と思っているのが間違いで、「頭を使って試行錯誤する」のが数学の勉強ではないかと。


注1：最近私のSNSのタイムライン上では、小学校における「計算の工夫をどう教えるか」についての議論が喧しい。子どもの学力をどう伸ばすか、ということに関わる問題なので、別の機会に稿を改めて考えを述べたい。

注2：この、きれいだけどほとんど使い道のなさそうな公式の名前、ご存知の方はぜひ、浅学非才なわたくしに教えて頂ければ。割とガチで。